ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА

2020-01-08 22:00 ai-news

     Логическая семантика – раздел логической науки, в котором изучают отношения выражений языка к обозначаемым объектам и выражаемому содержанию. Если семантика как раздел семиотики имеет дело с общими аспектами интерпретации любого типа знаковых систем, то логическая семантика имеет дело с особого рода знаковыми системами – языками, построенными для целей логики.

      Приписывание значений выражениям исследуемого (объектного) языка осуществляется посредством особого рода правил, называемых семантическими. Эти правила в свою очередь описываются в каком-то понятном, заранее интерпретированном языке, называемом в этом случае метаязыком (для данного объектного языка).

     Метаязык для описания семантических правил содержит термины, как относящиеся к описанию выражений объектного языка, так и описывающие вне-языковые (по отношению к объектному языку) сущности:

1. Выражение «победитель под Иеной» обозначает Наполеона;

2. Формула «?х (x ? у)» выражает свойство «быть минимальным элементом»;

3. 1 выполняет формулу «х2 = 1»;

4. Предложение «Бэкон современник Шекспира» истинно, если и только если Бэкон и Шекспир жили в одно время. Понятия «обозначает», «выражает», «выполняет», «истинно» и т.п. – семантические, они устанавливают отношения между выражениями знаковой системы и объектами или положениями дел в области интерпретации.

     Проблемы логической семантики тесно связаны с целым рядом традиционных философских вопросов, таких, как исследование понятий истинности и аналитической истинности, проблема универсалий и онтологических предпосылок в логике, анализ содержания модальных высказываний, высказываний с временными, эпистемическими терминами, проблема информативности логических форм, типология семантических категорий и их связь с теоретико-познавательными категориями и др. Связь логики с философией в значительной степени осуществляется именно через логическую семантику.

     Многие проблемы логической семантики и большинство основных ее понятий, таких, как «смысл», «значение», «обозначение», «имя», «суждение», «истинность», «ложность», «логическая истинность», «аналитическая истинность», «логическое следование» и т. д. не являются новыми в философии и логике. Собственно логика никогда не разрабатывалась в отрыве от анализа семантических проблем.

     Начало современной логической семантики восходит к работам Готлоба Фреге. Однако ее разработку как особого раздела логической науки можно датировать началом 30-х гг. В это время выходят работы А.Тарского по логической семантике и методологии дедуктивных наук. В 1935 вышла его работа «Понятие истины в формализованных языках», имевшая решающее значение для становления логической семантики как самостоятельного раздела логической науки. В 1942–47 выходит трехтомное «Исследование по семантике» Р.Карнапа. Значительной вехой в разработке логической семантики явились доказательство К.Гёделем семантической полноты первопорядкового исчисления предикатов и установление неполноты исчислений предикатов высших порядков, а также доказательство А.Тарским неопределимости понятия истинности средствами исследуемого языка.

    В послевоенные годы наблюдается интенсивное развитие логической семантики. Значительные результаты получены в моделей теории в узком смысле – в теории, рассматривающей связь между синтаксическими свойствами формул и свойствами их моделей (А.Мальцев, 1970; Р.Робинсон, 1967). Появилась как отдельное направление теория моделей. Строятся семантики для различного типа модальных логик (С.Крипке, Я.Хинтикка, С.Кангер, Р.Монтегю и др.), интуиционистской логики (Э.Бет, С.Крипке), релевантных и немонотонных и многих других классов логик. Были построены семантики с истинностными провалами и пресыщенными оценками, ситуационные семантики. В настоящее время интенсивно разрабатываются семантики интенсиональных и эпистемических контекстов.

     В последние десятилетия намечается сближение семантики и прагматики. Строятся семантики, в которых учитываются определенные прагматические аспекты: контексты употребления высказываний, определенные характеристики субъекта познавательной деятельности (его знания, установки и т.п.). Так, возможные миры в семантике могут трактоваться как объективные или субъективные обстоятельства, которые мы учитываем при истинностной оценке высказываний, и даже как цели. В таком случае вместо термина «возможные миры» используют термин «точки соотнесения» (Д.Скотт, Р.Монтегю) (см. Возможных миров семантика).

      Новый подход к анализу понятия истинности и семантических парадоксов наметился в последние годы в работах С.Крипке, Р.Мартина, П.Вудруфа. Несемантические предикаты рассматриваются как всюду определенные, а семантические – как не всюду определенные. В семантике Крипке возможно построение самоприменимых высказываний, утверждающих собственную истинность или неистинность, однако парадоксы не возникают. Это достигается за счет того, что предикат истинности не является всюду определенным. В настоящее время неортодоксальный анализ парадоксов семантических, как и в целом проблема истинности, находятся в центре внимания логиков и философов.

      Построение теоретической семантики начинается с описания объектного языка, семантику которого мы строим. Семантика как строгая наука может быть построена только для языков с точным образом заданной структурой. Формальные системы, удовлетворяющие сильному требованию эффективности, т.е. системы, для которых принадлежность к следующим классам объектов – исходным символам, термам, формулам (предложениям), аксиомам, доказательствам – устанавливается эффективным образом (эти классы выражений разрешимы), называют логистическими системами. Такого рода системы представляют собой неинтерпретированные исчисления и являются предметом логического синтаксиса.

     Формальные, логистические системы являются именно теми «языками» логики с точным образом заданной структурой, путями и способами интерпретации которых занимается логическая семантика. Именно благодаря интерпретации формальная система выступает как формализация некоторой содержательной теории. Под интерпретацией языка словаря ? имеется в виду функция I, приписывающая значения исходным символам, т.е. элементам из ?:

каждой индивидной константе сопоставляются некоторые объекты области рассмотрения (универсума рассмотрения U); каждой k-местной предикатной (функциональной) константе – k-местное отношение (функция) на U.

     Каждому типу переменных сопоставляется соответствующая область объектов, по которым они пробегают. Приписывание значений сложным выражениям определяется семантическими правилами. Интерпретация логических констант задается правилами истинности.

      Реляционную систему M называют возможной реализацией языка L, если существует такая интерпретация I на область U, что M = < U, І(?)>. Возможная реализация M есть модель множества высказываний Г, если и только если каждое высказывание из Г истинно в этой реализации. M является моделью (дедуктивной) теории, если в ней истинны все аксиомы теории. Противоречивая теория не имеет моделей (см. Моделей теория).

     Не всякий класс выражений, обладающих некоторым интересующим нас содержательным свойством (напр., класс истинных предложений некоторой теории) можно задать процессом порождения – представить как множество слов (выражений), доказуемых в некотором исчислении (формальной системе). Свойство D формализуемо, если существует такая формальная система L, что все выражения (формулы), доказуемые в этой системе, обладают свойством D (напр., все доказуемые предложения истинны при данной интерпретации). В этом случае говорят, что система семантически непротиворечива относительно свойства D. И если имеет место обратное – все выражения (формулы), обладающие свойством D, доказуемы в формальной системе, то система семантически полна относительно этого свойства. Так, класс логически истинных утверждений логики высказываний может быть представлен как класс формул, доказуемых в некотором исчислении (исчислении высказываний), и такая формализация является полной; аналогично, класс общезначимых формул логики предикатов – как класс формул, доказуемых в исчислении предикатов. Таким путем определенные содержательные, семантические свойства можно представить в исчислениях с точным образом заданными правилами образования и преобразования.

    Задача теоретической семантики – введение семантических понятий логически корректным образом и установление условий их адекватности некоторым исходным содержательным понятиям.

     Согласно Тарскому, возможны два подхода, два пути введения семантических понятий: 1) семантические понятия (напр., понятие истинного высказывания) вводятся в метаязык как первичные, исходные, а их свойства определяются системой аксиом; 2) семантические понятия вводятся посредством определений.

     В первом случае семантическая теория строится как самостоятельная дедуктивная теория с собственной системой аксиом и требуются специальные доказательства непротиворечивости и полноты построенной теории.

     Согласно второму подходу, метатеория в качестве первичных, неопределяемых терминов не содержит никаких семантических терминов, относящихся к объектному языку. К метаязыку данного объектного языка предъявляются следующие требования:

1) в нем имеются средства для описания синтаксических свойств объектного языка, в частности имеются средства для построения имен выражений объектного языка;

2) метаязык должен быть настолько богат, чтобы для каждой формулы (предложения) существовала формула (предложение) метаязыка, являющаяся переводом первой, другими словами, все то, что можно утверждать в терминах объектного языка, может быть сказано в метаязыке;

3) метаязык должен содержать логико-математическую часть.

     Сам факт возможности определения семантических понятий на базе несемантических понятий имеет важный философский смысл и, кроме того, играет особо существенную роль в разработке методологии дедуктивных наук. Преимущество указанного пути построения семантики состоит в том, что мы получаем своего рода «гарантию», что связанные с употреблением семантических терминов парадоксы не появятся в этом случае. Если несемантическая часть метаязыка непротиворечива, то добавление семантических терминов, вводимых указанным путем по определению, не ведет к противоречию. Но задача построения непротиворечивой системы таких определений сложная.

     В частности, указанный способ введения семантических терминов возможен лишь при условии, что метаязык существенно богаче объектного языка в том смысле, что метаязык дополнительно содержит переменные категорий более высокого порядка. Этот список условий далеко не полон.

     Уточнение классического, аристотелевского понятия истинности применительно к языкам с точно заданной структурой было предложено А.Тарским. Согласно Тарскому, предикат «быть истинным» должен удовлетворять следующей схеме (I): X – истинно тогда и только тогда, когда p, гае вместо p подставляется некоторое высказывание, а вместо X – его имя. Примерами такого рода подстановок будут эквивалентности:

1. «Der Schnee ist wei?» истинно ? Снег бел;

2. «23 > 3» истинно ? 23 > 3 и т.д.

(I) представляет собой общую схему такого рода эквивалентностей, которые устанавливают условия истинности конкретных высказываний языка.

     Схема (I) не является определением понятия истинности (истинного высказывания). Но она устанавливает условие адекватности вводимого семантического понятия. Введенное строгим образом семантическое понятие истинности будет адекватным, если оно охватывает все случаи применения исходного интуитивного понятия истинного высказывания, а это имеет место, если для него верны (могут быть доказаны) все случаи подстановки в схему (I). Подстановки в схему не являются тавтологиями: в левой части эквивалентности речь идет о высказывании (дается определенная его оценка), а в правой – об определенном положении дел, утверждаемом этим высказыванием.

     Понятие истинности является одним из центральных понятий логической семантики. Но для логических систем различного типа (модальных, интуиционистских, временных, эпистемических и т.д.) оно уточняется с учетом предпосылок и характера этих систем.

     На базе понятия истинности может быть определено понятие семантической определимости свойств, отношений, операций в языке рассматриваемой теории (см. Определимость). Это понятие связано с анализом выразительных возможностей языков и теорий. Синтаксис достаточно богатых систем (содержащих рекурсивную арифметику) выразим в самом объектном языке. Согласно теореме Тарского, понятие истинности (класс всех истинных высказываний) непротиворечивой формализованной теории, содержащей рекурсивную арифметику, не определимо в языке этой теории. Т.о., теорема говорит об ограниченности выразительных возможностей достаточно богатых систем со стандартной формализацией. С другой стороны, теорема позволяет выявить важные характеристики самого понятия истинности. Так, любой эффективно порождаемый (рекурсивно перечислимый) предикат семантически определим в первопорядковой арифметике Р. Соответственно, предикат, не определимый в ? (или системах, содержащих Р), не является рекурсивно перечислимым. Т.о., класс истинных утверждений первопорядковой арифметики в принципе неформализуем.

     Для уточнения логических понятий (L-истинность, L-ложность, общезначимость, L-эквивалентность и т.д.), а также модальных понятий недостаточно обращения к положениям дел в действительности (в данном мире) – как это имело место в случае классического понятия истинности. Необходимо обращение к альтернативным положениям дел. Так возникают семантики возможных миров: описания состояний (Р.Карнап), модельные множества (Я.Хинтикка), реляционные семантики (С.Крипке), окрестностные семантики (Р.Монтегю) (см. Возможных миров семантика).

     Понятие логической истинности для интерпретированной языковой системы может быть уточнено как истинность во всех возможных реализациях (т.е. истинность во всех возможных областях при любых интерпретациях). В отличие от истинности предполагается, что предложение логически (или аналитически) истинно, если его истинность может быть установлена на основе одних лишь семантических правил, без обращения к внеязыковым фактам.

     В логической семантике различают теорию референции, базирующуюся на понятии истинности, и теорию смысла. Уточнение понятия смысла наталкивается на принципиальные трудности, вызванные многогранностью и неоднозначностью этого понятия. Существуют различные методы семантического анализа смысла и значения выражений языка, рассматриваемые в логической семантике: метод отношения именования (Г.Фреге), метод экстенсионала и интенсионала (Р.Карнап, Р.Монтегю), теория неполных символов (Б.Рассел), концепция жестких десигнаторов (С.Крипке) и др.

     Отношение именования имеет место между выражением языка и конкретным или абстрактным объектом, именем которого оно выступает. Метод отношения именования базируется на принципах: предметности, однозначности и взаимозаменимости (см. Именования теория). Однако замена тождественных по значению выражений в неэкстенсиональных контекстах приводит к противоречиям (см. Антиномия отношения именования).

     Метод экстенсионала и интенсионала предполагает обращение к семантикам возможных миров (см. Интенсионал, Интенсиональный контекст). Тождества интенсионалов двух выражений достаточно для их замены в модальных контекстах, но недостаточно для взаимозаменимости в иных неэкстенсиональных контекстах.